Transformada inversa de Laplace

Laboratorio

Para esta semana como tarea en Laboratorio me toco resolver el siguiente problema:

• Encuentre la transformada inversa de Laplace

Para resolver este problema utilicé el método de fracciones parciales los pasos que realicé fueron los siguientes:

• Tomamos la expresión y de acuerdo los factores que tenemos en el denominador la acomodamos de la siguiente manera

• De acuerdo a los denominadores hacemos la multiplicación de factores para desaparecer los denominadores.

• De acuerdo a los coeficientes de cada variable, obtenemos las siguientes expresiones, cabe aclarar que se iguales de acuerdo a su correspondiente del otro lado del igual, esto es que todas los coeficientes con variables al cuadrado se igualan con los coeficientes de las variables al cuadrado del otro lado del igual; en este caso solo el 1 va a estar con los coeficientes lineales.

• Directamente conocemos el valor de B que es 0, ahora de las expresiones despejamos A para obtener su valor

• Conociendo el valor que tiene A lo sustituimos en la expresión donde se encuentra acompañada de C para obtener el valor de C.

• Ahora sustituimos estos valores en la expresión inicial y nos quedaría de la siguiente manera

• Desaparecemos los denominadores mediante multiplicaciones y comprobamos que la expresión es correcta.

• Como se comprueba que es correcta la igualdad, ahora obtenemos las transformadas inversas de cada término.

• Sacamos los numeradores de cada termino, ya que son constantes

• Para resolver las transformadas inversas tenemos ya igualdades conocidas que son las siguientes

• Para obtener la transformada inversa de 1/(s^2 + w^2) se hace uso de un truco matemático que consiste en llevar al numerador la "a" del denominador y sacarla de la expresión dividiendo para que no afecte al momento de realizar la transformada. En este caso sacamos un 1/w que se multiplica con 1/w^2 que habíamos sacado anteriormente y nos da como resultado fuera de la transformada inversa un 1/w^3.

• Ya por último comprobé mi resultado en Wolfram Alpha y arroja el mismo resultado en el área de formas alternas.

Saludos!