Principios de demostraciones de validez

Para esta semana se me asignó el problema 4.30 del capítulo 4 del curso "Logic in Action". Este ejercicio dice lo siguiente:

"Which quantifications are vacuous? Replace each formula with vacuous quantification by an equivalent formula without vacuous quantification.
(1) ∀x∃xRxx.
(2) ∀x∃yRxx.
(3) ∀x∃yRxy.
(4) ∀x∃yRyy"

Para resolver esto utilicé la cuantificación vacía la nos dice que cuando un cuantificador no enlaza una variable, ya sea porque la variable no está en el alcance o rango de ese cuantificador, o porque hay otro cuantificador vinculado a esa variable.

Sabiendo esto podemos realizar el ejercicio. 

• En el #1 vemos que para toda "x" existe una "x" en la relación "xx", esto es cierto porque las variables utilizadas existen en la relación como en el inicio de la proposición
• En el #2 observamos que para toda "x" existe una "y" en la relación "xx", esto no es cierto ya que en la relación no existe ninguna y. Se debería escribir así:  ∀x∃yRxy ó  ∀x∃xRxx.
• La proposición #3 es verdadera ya que se cumple que para toda "x" existe una "xy" en la relación "xy"
• La proposición #4 está incorrecta ya que esa proposición se traduce como: para toda "x" existe una "y" en la relación "yy", podemos observar que en la relación no hay ninguna "x"; se puede corregir escribiendo: ∀y∃yRyy o  ∀x∃yRxy

Saludos!

Fuentes

• 2.let.uu.nl